विभाज्यतेच्या कसोट्या – संपूर्ण माहिती, नियम व उदाहरणे
गणित विषयातील सर्वात महत्त्वाच्या आणि उपयुक्त संकल्पनांपैकी एक म्हणजे विभाज्यतेच्या कसोट्या होय. स्पर्धा परीक्षा, शिष्यवृत्ती परीक्षा, नवोदय, NMMS, MTS, TAIT, TET तसेच शालेय गणितामध्ये या कसोट्यांचा मोठ्या प्रमाणात उपयोग केला जातो. मोठ्या संख्यांना प्रत्यक्ष भाग न देता त्या विशिष्ट संख्येने विभाज्य आहेत की नाही हे काही सोप्या नियमांच्या मदतीने आपण सहज ओळखू शकतो. या नियमांनाच विभाज्यतेच्या कसोट्या असे म्हणतात.
विभाज्यतेच्या कसोट्या समजल्यास अपूर्णांकांचे लघुत्तम रूप काढणे, मसावी (HCF), लसावी (LCM), वेगवान गणना करणे आणि स्पर्धा परीक्षांमधील गणिती प्रश्न कमी वेळेत सोडवणे खूप सोपे होते.
विभाज्यतेची कसोटी म्हणजे काय?
एखाद्या संख्येला दुसऱ्या संख्येने निःशेष भाग जातो की नाही हे पूर्ण भागाकार न करता काही विशिष्ट नियमांच्या आधारे तपासण्याच्या पद्धतीला विभाज्यतेची कसोटी म्हणतात.
उदाहरणार्थ, 245 ही संख्या 5 ने विभाज्य आहे का हे पाहण्यासाठी पूर्ण भागाकार करण्याची आवश्यकता नाही. कारण 245 च्या एकक स्थानी 5 आहे. त्यामुळे ती संख्या 5 ने निःशेष भाग जाणारी आहे.
२ ची कसोटी
ज्या संख्येच्या एकक स्थानी ०, २, ४, ६ किंवा ८ हे अंक असतील त्या संख्येला २ ने निःशेष भाग जातो.
उदाहरणे
24
214
2052
486
1208
स्पष्टीकरण
2052 या संख्येच्या एकक स्थानी 2 आहे. त्यामुळे 2052 ला 2 ने निःशेष भाग जातो.
लक्षात ठेवण्याची युक्ती
सम अंक (Even Number) = 2 ने विभाज्य
३ ची कसोटी
जर संख्येतील सर्व अंकांची बेरीज ३ ने विभाज्य असेल तर ती संख्या ३ ने निःशेष भाग जाते.
उदाहरण
2052
अंकांची बेरीज:
2 + 0 + 5 + 2 = 9
9 ला 3 ने भाग जातो.
म्हणून 2052 ला देखील 3 ने निःशेष भाग जातो.
आणखी उदाहरणे
123 (1+2+3=6)
357 (3+5+7=15)
999 (9+9+9=27)
४ ची कसोटी
संख्येच्या शेवटचे दोन अंक मिळून तयार होणारी संख्या ४ ने विभाज्य असेल तर ती संपूर्ण संख्या ४ ने विभाज्य असते.
उदाहरण
2084
शेवटचे दोन अंक = 84
84 ÷ 4 = 21
म्हणून 2084 ला 4 ने निःशेष भाग जातो.
आणखी उदाहरणे
312 → 12 ला 4 ने भाग जातो
524 → 24 ला 4 ने भाग जातो
640 → 40 ला 4 ने भाग जातो
५ ची कसोटी
ज्या संख्येच्या एकक स्थानी ० किंवा ५ असेल ती संख्या ५ ने निःशेष भाग जाते.
उदाहरणे
20
225
2015
145
650
स्पष्टीकरण
225 च्या एकक स्थानी 5 आहे.
म्हणून 225 ला 5 ने निःशेष भाग जातो.
६ ची कसोटी
एखादी संख्या २ आणि ३ या दोन्ही संख्यांनी विभाज्य असेल तर ती संख्या ६ ने विभाज्य असते.
उदाहरण
234
234 च्या एकक स्थानी 4 आहे → 2 ने विभाज्य
अंकांची बेरीज = 2+3+4 = 9 → 3 ने विभाज्य
म्हणून 234 ला 6 ने निःशेष भाग जातो.
आणखी उदाहरणे
222
20124
546
८ ची कसोटी
संख्येच्या शेवटचे तीन अंक मिळून तयार होणारी संख्या ८ ने विभाज्य असेल तर ती संपूर्ण संख्या ८ ने विभाज्य असते.
उदाहरण
2944
शेवटचे तीन अंक = 944
944 ÷ 8 = 118
म्हणून 2944 ला 8 ने निःशेष भाग जातो.
आणखी उदाहरणे
1024
4000
512
९ ची कसोटी
संख्येतील सर्व अंकांची बेरीज ९ ने विभाज्य असेल तर ती संख्या ९ ने निःशेष भाग जाते.
उदाहरण
20529
2 + 0 + 5 + 2 + 9 = 18
18 ला 9 ने भाग जातो.
म्हणून 20529 ला 9 ने निःशेष भाग जातो.
आणखी उदाहरणे
729
999
135
१० ची कसोटी
ज्या संख्येच्या एकक स्थानी ० असेल ती संख्या १० ने निःशेष भाग जाते.
उदाहरणे
100
210
5240
700
1230
११ ची कसोटी
सम स्थानावरील अंकांची बेरीज आणि विषम स्थानावरील अंकांची बेरीज यांतील फरक ० किंवा ११ ने विभाज्य असल्यास ती संख्या ११ ने विभाज्य असते.
उदाहरण
121
(1 + 1) – 2 = 0
म्हणून 121 ही संख्या 11 ने विभाज्य आहे.
१२ ची कसोटी
संख्या ३ आणि ४ या दोन्ही संख्यांनी विभाज्य असेल तर ती संख्या १२ ने विभाज्य असते.
उदाहरण
144
अंकांची बेरीज = 1+4+4 = 9 → 3 ने विभाज्य
शेवटचे दोन अंक 44 → 4 ने विभाज्य
म्हणून 144 ही संख्या 12 ने विभाज्य आहे.
विभाज्यतेच्या कसोट्यांचे महत्त्व
विभाज्यतेच्या कसोट्यांचा उपयोग खालील बाबींमध्ये होतो:
1. स्पर्धा परीक्षांमध्ये
MPSC, UPSC, TET, TAIT, NMMS, Scholarship यांसारख्या परीक्षांमध्ये यावर आधारित प्रश्न विचारले जातात.
2. मसावी आणि लसावी काढण्यासाठी
संख्या कोणत्या संख्येने भाग जाते हे पटकन ओळखता येते.
3. अपूर्णांक सोपे करण्यासाठी
अंश आणि छेद समान संख्येने भागून लघुत्तम रूप तयार करता येते.
4. वेळेची बचत
मोठे भागाकार न करता उत्तर पटकन मिळते.
5. मानसिक गणित विकसित होते
विद्यार्थ्यांची गणनक्षमता वाढते.
विद्यार्थ्यांसाठी अभ्यास टिप्स
✅ दररोज 10 ते 15 उदाहरणे सोडवा.
✅ प्रत्येक कसोटीचे नियम स्वतंत्र वहीत लिहून ठेवा.
✅ स्पर्धा परीक्षांतील प्रश्नपत्रिका सोडवा.
✅ 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 आणि 10 च्या कसोट्या प्रथम पक्क्या करा.
✅ मित्रांसोबत प्रश्नोत्तरे खेळा.
निष्कर्ष
विभाज्यतेच्या कसोट्या हा गणितातील अत्यंत मूलभूत आणि महत्त्वाचा घटक आहे. या कसोट्या व्यवस्थित समजल्या तर भागाकार, अपूर्णांक, मसावी, लसावी तसेच विविध स्पर्धा परीक्षांमधील गणिती प्रश्न सहज सोडवता येतात. नियमित सराव आणि योग्य उदाहरणांच्या मदतीने कोणताही विद्यार्थी हा घटक सहज आत्मसात करू शकतो.
गणितातील वेग वाढवण्यासाठी आणि परीक्षेत अधिक गुण मिळवण्यासाठी विभाज्यतेच्या कसोट्यांचा नियमित सराव करणे अत्यंत आवश्यक आहे.
